Unión de conjuntos

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En la teoría de conjuntos, la unión de conjuntos es una operación binaria en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Mediante la cual a cada par de conjuntos A y B de U se le asocia otro conjunto: (A\cup B) de U.

Si A y B son dos conjuntos, entonces su unión es:

A \cup B= \{ x \in U \mid \ x \in A \ \vee \ x \in B \}

La unión de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, o que, x a pertenezca a B.

Esta operación es conmutativa, asociativa y tiene Elemento neutro.

A \cup B = B \cup A
(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
A \cup \varnothing = \varnothing \cup A = A
A \cup A^c = A^c \cup A = U

donde:

A^c = \{ x \in U \mid x \notin A \} es el complemento de A.

Propiedades

Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera.

  • 1. A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B.
  • 2. A ∪ U = U y A ∪ Ø = A.
  • 3. A ∪ A = A (propiedad idempotente).
  • 4. A ∪ B = B ∪ A (propiedad conmutativa).
  • 5. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (propiedad asociativa).
  • 6. a. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
  • 6. b. (B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) (propiedad distributiva respecto de la intersección).
  • 7. A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B) (ley de absorción).

Unión generalizada

La unión de dos conjuntos presentada anteriormente puede extenderse a varios conjuntos así la unión de un número finito de conjuntos viene dada por "uniones sucesivas":

A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = (\dots((A_1 \cup A_2) \cup \dots) \cup A_n)

Debido a la propiedad asociativa cualquier orden de "emparejamientos" para realizar la unión conduce al mismo resultado. La unión de conjuntos puede generalizarse también para contemplar la unión de un número infinito de conjuntos A_\beta\,. En ese caso se define:

\bigcup_{\beta\in B} A_\beta = \{x\in U|\ \exists\beta\in B:x\in A_\beta \}

Cuando B es un conjunto de sólo dos elementos la definición anterior se reduce a la definición ordinaria para la unión de dos conjuntos.

Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntos"

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